Ֆերմայի մեծ թեորեմ

Ֆերմայի հանրահայտ պնդումը այն մասին, որ ցանկացած երեք դրական թվեր, օրինակ՝ a, b, և c, չեն կարող բավարարել Դիոփանտեսի հավասարմանը՝ an + bn = cn, երբ n-ը մեծ է երկուսից։

Պիեռ դե Ֆերմայի (1601 - 1665) այս մաթեմատիկական թեորեմը մնում էր չլուծված ավելի քան երեք ու կես դար։ Թեորեմը չնայած իր թվացյալ պարզությանը, իրականում մաթեմատիկայի պատմությա ամենադժվար ապացուցելի պնդումներից է: Ֆերման նշում է, որ ապացուցել է այն 1637 թ.։ Անապացույց պնդումը հայտնաբերվել է մաթեմատիկոսի մահից շուրջ 30 տարի հետո, մի գրքի լուսանցքում։ Ֆերման նշում է, որ ունի ապացույցը, սակայն այն չի տեղավորվել նշված լուսանցքում:

ֆերմայի այս վերջին թեորեմը ապացուցելու փորձերը նկատելիորեն զարգացնում են թվերի տեսությունը։ Թեորեմը հիմնվում է Պյութագորասի թեորեմի վրա, որը պնդում է, որ a2 + b2 = c2, որտեղ a-ն և b-ն էջերի երկարություններն են, իսկ c-ն ներքնաձիգի։

Պյութագորասի հավասարումը, որպես լուծում ունի անվերջ թվով դրական ամբողջ թվեր՝ a, b և c։ Այս լուծումները հայտնի են որպես Պյութագորասի եռյակներ։ Ֆերման պնդում է, որ ավելի ընդհանուր հավասարումը՝ an + bn = cn չունի դրական թվերի տեսքով լուծումներ, եթե n թիվը մեծ է 2-ից։ Չնայած այն հայտարարությանը, որ նա ունի իր ենթադրությունների հիման վրա կառուցված ընդհանուր ապացույց, Ֆերման չի թողել իր ապացույցի մանրամասները։ Նա միայն թողել է հատուկ դեպքի՝ n = 4-ի ապացույցները։ Եվ քանի որ հատուկ դեպքը՝ n = 4-ը ապացուցված էր, մնում էր ապացուցել այն դեպքը, երբ n-ը պարզ թիվ է։ Հաջորդ երկու դարերի ընթացքում (1637–1839) վարկածը ապացուցվել է, բայց միայն 3, 5 և 7 պարզ թվերի համար։

Թեորեմը տարբեր ժամանակ փորձել են ապացուցել Էյլերը, Կումմերը, Դիրիխլեն, Լեժանդրը, Լամմեն: Դևիդ Գիլբերտը ասել է այս թեորեմի մասին, որ այն ակնառու ցույց է տալիս, թե ինչպիսի կարևոր նշանակություն կարող է ունենալ ամբողջ մաթեմատիկայի զարգացման համար առաջին հայացքից աննշան խնդիրը:

1995 թ. ֆերմայի մեծ թեորեմը ապացուցել է Էնդրյու Ուայլսը:
Գոյություն ունի նաև Ֆերմայի փոքր թեորեմը: Այն թվերի տեսության հիմնական թեորեմներից է: Ըստ այդմ՝ եթե p-ն պարզ թիվ է, իսկ a-ն՝ p-ի չբաժանվող ամբողջ թիվ, ապա a?՜1–1-ը բաժանվում է p-ի, այսինքն՝ ap_1^ = l(modp)։ Թեորեմն առանց ապացուցելու ձևակերպել է Պ․ Ֆերման, իսկ առաջին անգամ ապացուցել է Լ․ էյլերը։

Տես նաև Պյութագորասի թեորեմ, Թալեսի թեորեմ և Արքիմեդի օրենքը